Welche Voraussetzungen prüft das Gericht bei einer beidseitigen Erledigterklärung?

Keine. Das Verfahren löst sich durch die übereinstimmenden Erledigterklärungen praktisch „in Luft auf“. Daher gibt es keinen Grund für das Gericht mehr, irgendetwas zu prüfen. Es ist insbesondere egal, ob die Klage ursprünglich zulässig und begründet war und ob überhaupt eine Erledigung eingetreten ist. Wenn die Parteien von Erledigung ausgehen und keine staatliche Entscheidung mehr wollen, dann ist das ihre Sache.