Wie stellt der Kläger seine Klage auf einen anderen Beklagten um?

Hier ist eine neue Klage (im selben Prozess) gemäß § 253 Abs. 1 ZPO zu erheben. Eine Klageerweiterung (§ 261 Abs. 2) reicht nicht, da gegenüber dem Adressaten ja noch kein Verfahren anhängig ist.

Der neue Beklagte wird gemäß §§ 263 und 267 ZPO Partei, sofern er einwilligt oder die Umstellung (wie fast immer) sachdienlich ist. Der alte Beklagte scheidet nur aus, wenn er zustimmt, da er (wie bei der Klagerücknahme, § 269) einen Anspruch auf ein rechtskräftiges Urteil hat.

Wer steht im Urteil, wenn es einen Parteiwechsel im Prozess gab?

Partei ist grundsätzlich nur, wer am Ende des Rechtsstreits beteiligt war. Der Tenor ist Grundlage für die Vollstreckung des Urteils, daher muss dieser die tatsächlichen Beteiligten aufführen, da nur diese Anspruchsinhaber und -gegner sein können. Bei Rechtsnachfolge kann die ausgeschiedene Partei allenfalls noch erläuternd erwähnt werden („A als Rechtsnachfolger des B“).

Ein früherer Beteiligter ist aber im Urteil aufzuführen, wenn er noch eine Rolle spielt, z.B. weil über seine Kosten zu entscheiden ist.